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悬挂物体的铅直弹簧振荡—受力分析

原创 N猜生活 作者: 时间:2020-07-10 00:25:13 158

悬挂物体的铅直弹簧振荡 (Vertical Mass-Spring Oscillator) 是将一个轻弹簧垂直悬吊,末端悬挂一个重物,并利用弹簧恢复力的作用,使重物作上下来回的振荡。因为此系统除了受弹簧恢复力的作用,还受重力的影响,所以和水平放置的弹簧振荡并不相同。在此将针对重力影响作进一步说明。

弹簧的振荡运动主要是靠本身的恢复力(restoring force)作用造成。由虎克定律(Hooke’s law)可知:在某一限度範围内,弹簧的恢复力 $$F$$ 和形变方向相反,而量值与伸缩变化量 $$\Delta x$$ 成正比,可表示成:$$\vec{F}=-k\Delta\vec{x}$$,其中 $$k$$ 为弹力常数(force constant)。

现在,在铅直弹簧的末端悬挂一个重物,该重物的重力会拉伸弹簧,改变弹簧长度,同时产生恢复力;因此,重物会同时受到重力和恢复力作用,这两种力的合力影响着铅直弹簧的运动情形。

※在此将重物视为一个质点,并位于弹簧末端。故在分析受力情况时,皆以重物质心位置讨论。如图一所示。

悬挂物体的铅直弹簧振荡—受力分析

首先,讨论最简单的情况。我们可以用手支撑重物,缓慢放下,让弹簧随重力作用伸长。当弹簧伸长到某一长度后,便可支持重物,不需再用手支撑,而弹簧与重物皆可保持静止。这时,该系统达到静力平衡(static equilibrium),亦可说重物所受合力为零。又弹簧恢复力与重力方向相反,所以可知在此情况下,重力=恢复力。

悬挂物体的铅直弹簧振荡—受力分析

若重物质量 $$m$$,其重力 $$\vec{F_g}=m\vec{g}$$;恢复力 $$\vec{F_x}=-k\Delta \vec{x}$$

合力 $$\vec{F_g}+\vec{F_x}=0\rightarrow m\vec{g}=k\Delta\vec{x}$$

令此平衡状态下,弹簧总长为 $$l_A~(l_A>l_0)$$

故弹簧伸长量 $$\Delta\vec{x}=\vec{x_0}$$,量值 $$|\Delta\vec{x}|=|\vec{x_0}|=l_A-l_0\rightarrow m\vec{g}=k\vec{x_0}$$

由上式可知:只要悬挂重物的质量固定,则 $$x_0$$ 也是定值;意指重物会有一个平衡位置。

进一步,在上述平衡状态下改变弹簧的长度,无论将其伸长或缩短,皆会改变恢复力,使恢复力与重力不再相等,合力亦不为零,因而促使重物运动。

若一开始先使弹簧长度伸长至 $$l_1~(l_1>l_A)$$,令此时物体所在位置为 $$\vec{x_1}$$,弹簧伸长量 $$\Delta \vec{x}=\vec{x_1}$$,则恢复力会大于重力(如图三所示)

悬挂物体的铅直弹簧振荡—受力分析

改成公式简单表示:$$\vec{F_x}=-k\vec{x_1}$$,$$|\vec{x_1}|=l_1-l_0$$;$$\vec{F_g}=m\vec{g}=k\vec{x_0}$$

而物体所受合力:$$\vec{F_{all}}=\vec{F_x}+\vec{F_g}=k(\vec{x_0}-\vec{x_1})=-k(\vec{x_1}-\vec{x_0})$$

由牛顿第二运动定律(Newton’s second law of motion):$$\vec{F}=m\vec{a}$$,可知此合力造成重物向上加速运动。

相反地,若一开始自平衡位置压缩弹簧长度至 $$l_2~(l_2【注 2】

则恢复力会小于重力 $$\vec{F_x}=-k\vec{x_2}$$,$$|\vec{x_2}|=l_2-l_0$$(如图四所示)

悬挂物体的铅直弹簧振荡—受力分析

而物体所受合力:$$\vec{F_{all}}=\vec{F_x}+\vec{F_g}=k(\vec{x_0}-\vec{x_2})=-k(\vec{x_2}-\vec{x_0})$$

同理,由牛顿第二运动定律可知,此合力造成重物向下加速运动。

综合上述结果,可以发现:

悬挂于铅直弹簧上的物体所受合力方向和相对平衡位置的形变方向相反,

令物体位置为 $$\vec{x}$$,所受合力可以简单表示:$$\vec{F_{all}}=-k(\vec{x}-\vec{x_0})=-k\Delta\vec{x}$$

而该形式与虎克定律 $$\vec{F}=-k\Delta\vec{x}$$ 相同,只有平衡位置不同。

我们知道,遵守虎克定律的弹簧振荡运动即是一种简谐运动(Simple Harmonic Motion)。而悬挂物体的铅直弹簧振荡运动形式又和遵守虎克定律的振荡运动相同,因此,我们探讨的这个系统的运动模式也是一种简谐运动,而其振荡情形如下:【注 3】

悬挂物体的铅直弹簧振荡—受力分析

【注 1】:当弹簧不受任何外力、自然放置于水平面上,可测量其自然长度为 $$l_0$$。而轻弹簧质量很小,可以忽略,故在轻弹簧垂直悬吊,未挂重物时,弹簧长度等同其自然长度 $$l_0$$。
【注 2】:图四-2虽然看似与图四不同(压缩弹簧长度 $$l^{‘}_2$$ 甚至比自然长度 $$l_0$$ 小)但若以向量表示,其结果会与图四相同,即 $$\vec{F_x}=-k\vec{x’_2}$$

悬挂物体的铅直弹簧振荡—受力分析

【注 3】:悬挂物体的铅直弹簧振荡模式遵守简谐运动,而最大振幅由起始位置(手释放重物的位置,可能是最高点 $$x_C$$ 或最低点 $$x_B$$)决定,和自然长度无关;因此最高点的恢复力可以是正值(如图四)、负值(如图四-2)或零(重物刚好位在 $$x=0$$)。


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